Question

19．函數(shù)f（x）=1+$\frac{sinx}{2+cosx}$的最大值與最小值之和為2．

Answer 1

分析 把已知等式變形，利用輔助角公式化積，然后利用三角函數(shù)的有界性轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的不等式求解．

解答 解：由y=f（x）=1+$\frac{sinx}{2+cosx}$，得sinx-（y-1）cosx=2（y-1），
∴$\sqrt{1+（y-1）^{2}}（\frac{1}{\sqrt{1+（y-1）^{2}}}sinx-\frac{y-1}{\sqrt{1+（y-1）^{2}}}cosx）=2（y-1）$，
即sin（x-θ）=$\frac{2（y-1）}{\sqrt{1+（y-1）^{2}}}$（tanθ=y-1），
由|$\frac{2（y-1）}{\sqrt{1+（y-1）^{2}}}$|≤1，得3y²-6y+2≤0，解得：$\frac{3-\sqrt{3}}{3}≤y≤\frac{3+\sqrt{3}}{3}$．
∴函數(shù)f（x）=1+$\frac{sinx}{2+cosx}$的最大值與最小值分別為$\frac{3+\sqrt{3}}{3}，\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，和為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值的求法，訓(xùn)練了利用三角函數(shù)的有界性求函數(shù)的最值，是中檔題．