Question

6．已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是△ABC的重心，點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+2$\overrightarrow{OC}$），則$\frac{{S}_{△PAB}}{{S}_{△OAB}}$為（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． 2
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 作出圖形：延長CO交邊AB的中點(diǎn)于D，根據(jù)O是△ABC的重心，以及向量加法的平行四邊形法則、向量數(shù)乘的幾何意義和向量的數(shù)乘運(yùn)算便可以得出$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OC}$，從而便可得到$OP=\frac{1}{6}CD，DP=\frac{1}{2}CD$，而$DO=\frac{1}{3}CD$，這樣即可求出$\frac{{S}_{△PAB}}{{S}_{△OAB}}$的值．

解答 解：如圖，延長CO，交AB中點(diǎn)D，O是△ABC的重心，則：
$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{4}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}）$=$\frac{1}{4}（2\overrightarrow{OD}+2\overrightarrow{OC}）$=$\frac{1}{4}（-\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OC}）$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{OC}$；
∴$OP=\frac{1}{4}OC=\frac{1}{4}•\frac{2}{3}CD=\frac{1}{6}CD$；
∴$DP=DO+OP=\frac{1}{3}CD+\frac{1}{6}CD=\frac{1}{2}CD$，$DO=\frac{1}{3}CD$；
∴$\frac{{S}_{△PAB}}{{S}_{△OAB}}=\frac{DP}{DO}=\frac{\frac{1}{2}CD}{\frac{1}{3}CD}=\frac{3}{2}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法的平行四邊形法則，向量數(shù)乘的幾何意義，三角形重心的性質(zhì)，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算，三角形的面積公式．