Question

4．如圖，已知tan∠EAF=-2，點(diǎn)P到AE、AF的距離分別為$\sqrt{5}$，3，過(guò)P點(diǎn)的直線BC與AE，AF分別交于B，C兩點(diǎn)，則△ABC的面積的最小值為15．

Answer 1

分析 設(shè)AB=x，AC=y，根據(jù)三角形的面積得出關(guān)于x，y的關(guān)系式，利用基本不等式求出xy的最小值，代入面積公式得出面積的最小值．

解答 解：∵tanA=-2，∴sinA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
設(shè)AB=x，AC=y，則S_△ABC=$\frac{\sqrt{5}}{2}x+\frac{3}{2}y$=$\frac{1}{2}xysinA$=$\frac{\sqrt{5}}{5}xy$．
即$\sqrt{5}x+3y=\frac{2\sqrt{5}}{5}xy$，
∵$\sqrt{5}x+3y≥2\sqrt{3\sqrt{5}xy}$，∴$\frac{2\sqrt{5}}{5}xy≥2\sqrt{3\sqrt{5}xy}$，解得xy$≥15\sqrt{5}$．
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{5}}{5}xy$≥15．
故答案為15．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的面積公式，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．