Question

求最小值：
（1）y=x+

4

x

（x＞0）；（2）y=x+

4

x

（x≥5）；
（3）y=x+

4

x

（x≥a，a＞0）；
（4）y=9x+

4

x-1

（x＞1）；
（5）y=sinx+

4

sinx

（0＜x＜π）；
（6）y=

x2+25

x2+9

；
（7）y=

4x2+16x+17

x+2

（x＞-2）．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：利用基本不等式的性質(zhì)或利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出，使用基本不等式的性質(zhì)時(shí)注意“一正二定三相等”的法則．

解答： 解：（1）∵x＞0，∴y=x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)，因此y的最小值為4；
（2）∵x≥5，∴f′（x）=1-

4

x2

=

x2-5

4

＞0，∴函數(shù)y=x+

4

x

在x≥5時(shí)單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值

29

5

；
（3）∵f′（x）=1-

4

x2

=

x2-5

4

，∴當(dāng)0＜a＜2，當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)y=x+

4

x

取得最小值a+

4

a

；
當(dāng)a≥2時(shí)，利用單調(diào)性可知：當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)y=x+

4

x

取得最小值a+

4

a

；
（4）y=9x+

4

x-1

=9（x-1）+

4

x-1

+9≥2

9(x-1)• 4 x-1

+9=21，當(dāng)且僅當(dāng)x=

5

3

時(shí)取等號(hào)，因此最小值為21；
（5）∵0＜x＜π，∴0＜sinx≤1，利用f（t）=t+

4

t

在t∈（0，1]時(shí)單調(diào)遞減，∴當(dāng)sinx=1（即x=

π

2

）時(shí)，函數(shù)y取得最小值5；
（6）y=

x2+25

x2+9

=

x2+9

+

16

x2+9

，當(dāng)且僅當(dāng)x²=7時(shí)函數(shù)y取得最小值8；
（7）∵x＞-2，∴y=

4x2+16x+17

x+2

=

4(x+2)2+1

x+2

=4（x+2）+

1

x+2

≥2

4(x+2)• 1 x+2

=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=-

3

2

時(shí)取等號(hào)，∴函數(shù)y的最小值為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的性質(zhì)或利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，使用基本不等式的性質(zhì)時(shí)注意“一正二定三相等”的法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．