Question

4．已知a，b，c，分別為三角形ABC的對(duì)邊，sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，$\frac{cosA}{sinA}+$$\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$；
（1）求證：0＜B≤$\frac{π}{3}$；
（2）若$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$，求|$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BA}$|．

Answer 1

分析 （1）已知等式左邊通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，整理后利用正弦定理化簡(jiǎn)得到關(guān)系式，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將得出的關(guān)系式代入并利用基本不等式變形求出cosB的范圍，即可確定出B的范圍；
（2）由sinB的值，確定出cosB的值，已知等式左邊利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算求出ac的值，進(jìn)而確定出b的值，利用余弦定理求出a²+c²的值，所求式子平方后，利用完全平方公式展開，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算，將各自的值代入計(jì)算，開方即可求出值

解答 解：（1）∵$\frac{cosA}{sinA}+$$\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$=$\frac{sinCcosA+cosCsinA}{sinAsinC}=\frac{sin（A+C）}{sinAsinC}$=$\frac{sinB}{sinAsinC}$=$\frac{4}{\sqrt{7}}$=$\frac{1}{sinB}$，
∴sinAsinC=sin²B，
由正弦定理可得，b²=ac，
∵b²=a²+c²-2accosB≥2ac-2accosB，
∴cosB≥$\frac{1}{2}$，即0＜B≤$\frac{π}{3}$；
（2）∵sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，且b²=ac，
∴B不是最大角，
∴cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$=ca×cosB=$\frac{3}{4}$ac，即ac=2，
∴b²=2，
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，
∴a²+c²=5，
則|$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BA}$|²=a²+c²+2$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BA}$=a²+c²+2accosB=5+3=8，
即|$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BA}$|=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、余弦定理，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．