Question

11．已知函數(shù)$f（x）=lnx+\frac{a}{x}-1$，其中a為參數(shù)，$g（x）={e^x}•lnx+{e^2}x-\frac{1}{2}{e^2}{x^2}$，
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（3）函數(shù)g（x）是否存在垂直于y軸的切線？請(qǐng)證明你的結(jié)論論．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入函數(shù)f（x），求出其導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)的最小值；
（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程$lnx+\frac{1}{x}=\frac{{{e^2}（1-x）}}{e^x}$有沒(méi)有解，通過(guò)研究左右兩個(gè)函數(shù)的值域，從而得到結(jié)論．

解答 解：（1）a=1時(shí)，$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$，定義域?yàn)椋?，+∞），
令f′（x）=0，得 x=1，f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；  
（2）$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}=\frac{x-a}{x^2}$，x∈[1，e]，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，所以f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，
所以，f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為f（1）=a-1，
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，則x=a，
①若a＞e，則f′（x）＜0對(duì)x∈[1，e]成立，則f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減，
所以，f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為$f（e）=\frac{a}{e}$，
②若1≤a≤e，則有

x	（1，a）	a	（a，e）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

所以f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為f（a）=lna，
③若a＜1，則f'（x）＞0對(duì)x∈[1，e]成立，所以f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，
所以，f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為f（1）=a-1，
綜上得：$f{（x）_{min}}=\left\{\begin{array}{l}f（1）=a-1，（a＜1）\\ f（a）=lna，（1≤a≤e）\\ f（e）=\frac{a}{e}，（a＞e）\end{array}\right.$；
（3）即考慮方程g′（x）=0有沒(méi)有解，求導(dǎo)得$g'（x）=（lnx+\frac{1}{x}）{e^x}+{e^2}（1-x）$，
令g′（x）=0，則$（lnx+\frac{1}{x}）{e^x}+{e^2}（1-x）=0$，即$lnx+\frac{1}{x}=\frac{{{e^2}（1-x）}}{e^x}$
下面分別研究左右兩個(gè)函數(shù)的值域，
∵由（1）得a=1時(shí)f（x）的最小值為f（1）=0，
∴$f（x）=lnx+\frac{1}{x}-1≥f（1）=0$，即$lnx+\frac{1}{x}≥1$，
令$h（x）=\frac{{{e^2}（1-x）}}{e^x}$，則$h'（x）=\frac{{{e^2}（2-x）}}{e^x}$，
∴h（x）在（-∞，2）上遞增，在（2，+∞）上遞減，∴h（x）_max=h（2）=1，
又∵等號(hào)不能同時(shí)取到，∴方程$lnx+\frac{1}{x}=\frac{{{e^2}（1-x）}}{e^x}$無(wú)解，
即函數(shù)g（x）不存在垂直于y軸的切線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，本題計(jì)算量較大，有一定的難度．