Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果存在正實(shí)數(shù)k，使對(duì)任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，則稱函數(shù)f（x）為D上的“k型增函數(shù)”．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）為R上的“2 015型增函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\frac{2015}{4}$）
• B． （$\frac{2015}{4}$，+∞）
• C． （-∞，$\frac{2015}{6}$）
• D． （$\frac{2015}{6}$，+∞）

Answer 1

分析 利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）的解析式，再利用新定義對(duì)x分類討論和絕對(duì)值的意義即可得出．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0．
設(shè)x＜0，則-x＞0．
∴f（-x）=|-x-a|-2a=|x+a|-2a，
∴f（x）=-f（-x）=-|x+a|+2a．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|x-a|-2a，x＞0\\ 0，x=0\\-|x-a|+2a，x＜0\end{array}\right.$．
分類討論：
①當(dāng)x＞0時(shí)，由f（x+2015）＞f（x），可得|x+2015-a|-2a＞|x-a|-2a，化為|x-（a-2015）|＞|x-a|，由絕對(duì)值的幾何意義可得a+a-2015＜0，解得a＜$\frac{2015}{2}$．
②當(dāng)x＜0時(shí)，由f（2015+x）＞f（x），
分為以下兩類研究：當(dāng)x+2015＜0時(shí)，可得-|x+2015+a|+2a＞-|x+a|+2a，化為|x+2015+a|＜|x+a|，由絕對(duì)值的幾何意義可得-a-a-2015＞0，解得a＜-$\frac{2015}{2}$．
當(dāng)x+2015＞0，|x+2015-a|-2a＞-|x+a|+2a，化為|x+2015-a|+|x+a|≥|2015-2a|＞4a，a≤0時(shí)成立；
當(dāng)a＞0時(shí)，a＜$\frac{2015}{6}$，因此可得a＜$\frac{2015}{6}$．
③當(dāng)x=0時(shí)，由f（2015）＞f（0）可得|2015-a|-2a＞0，當(dāng)a≤0時(shí)成立，當(dāng)a＞0時(shí)，a＜$\frac{2015}{3}$．
綜上可知：a的取值范圍是a＜$\frac{2015}{6}$．
故答案為（-∞，$\frac{2015}{6}$），
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)、新定義、分類討論和絕對(duì)值的意義等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題