Question

15．某師范大學地理學院決定從n位優(yōu)秀畢業(yè)生（包括x位女學生，3位男學生）中選派2位學生到某貧困山區(qū)的一所中學擔任第三批頂崗實習教師，每一位學生被選派的機會是相同的．
（1）若選派的2位學生中恰有1位女學生的概率為$\frac{3}{5}$，試求出n與x的值；
（2）在（1）的條件下，記X為選派的2位學生中女學生的人數(shù)，寫出X的分布列．

Answer 1

分析 （1）分類判斷總方法：${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$，2位學生中恰有1位女學生的方法數(shù)為C${\;}_{n-3}^{1}$C${\;}_{3}^{1}$，運用概率公式求解n即可．判斷得出兩種類型$\left\{\begin{array}{l}{n=5}\\{x=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{n=6}\\{x=3}\end{array}\right.$，
（2）X為選派的2位學生中女學生的人數(shù)，得出X可能的取值為0，1，2，分別求解概率，列出分布列即可．

解答 解：（1）若選派的2位學生中恰有1位女學生的概率為$\frac{3}{5}$，而從n位優(yōu)秀畢業(yè)生中選派2位學生擔任第三批頂崗實習教師的總方法：${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$，2位學生中恰有1位女學生的方法數(shù)為C${\;}_{n-3}^{1}$C${\;}_{3}^{1}$=（n-3）×3．
依題意可得：$\frac{3（n-3）}{\frac{n（n-1）}{2}}$=$\frac{3}{5}$，
化簡得n²-11n+30=0，解得n₁=5，n₂=6．
當n=5時，x=5-3=2；當n=6時，x=6-3=3．
故（2）當$\left\{\begin{array}{l}{n=5}\\{x=2}\end{array}\right.$時，X可能的取值為0，1，2，
X=0表示只選派2位男生，這時P（X=0）=$\frac{{{C}_{2}^{0}C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
X=1表示選派1位男生與1位女生，這時P（X=1）=$\frac{{{C}_{2}^{1}C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
X=2表示只選派2位女生，這時P（X=2）=$\frac{{{C}_{2}^{2}C}_{3}^{0}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$．
X的分布列為

X	0	1	2
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

當$\left\{\begin{array}{l}{n=6}\\{x=3}\end{array}\right.$時，X可能的取值為0，1，2X=0表示只選派2位男生，這時P（X=0）=$\frac{{{C}_{3}^{2}C}_{3}^{0}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
X=1表示選派1位男生與1位女生，這時P（X=1）=$\frac{{{C}_{3}^{1}C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
X=2表示只選派2位女生，這時P（X=2）=$\frac{{{C}_{3}^{0}C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$．
X的分布列為

X	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

點評 本題考察了概率在實際問題中的應(yīng)用，分類討論，考察了學生的閱讀能力，計算化簡能力，屬于中檔題．