Question

4．F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的左右焦點，P為橢圓上一動點，F(xiàn)₂關(guān)于直線PF₁的對稱點為M，F(xiàn)₁關(guān)于直線PF₂的對稱點為N，則當|MN|最大時，S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$為（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，得到當P，M，N共線時，|MN|最大，由此可知∠F₁PF₂=60°，然后利用余弦定理求得$|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=\frac{8}{3}$．再代入三角形面積公式得答案．

解答 解：由$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，得a²=4，b²=2，則c²=a²-b²=2，
∴${F}_{1}（-\sqrt{2}，0），{F}_{2}（\sqrt{2}，0）$，
連接PM，PN，
∵|PM|+|PN|=|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴當P，M，N共線時，|MN|最大，
此時∠MPF₁=∠F₁PF₂，∠F₁PF₂=∠F₂PN，
由∠MPF₁+∠F₁PF₂+F₂PN=180°，
得∠F₁PF₂=60°，
在△F₁PF₂中，由余弦定理可得：
$4{c}^{2}=|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|cos60°$，
∴$8=（|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|）^{2}-3|P{F}_{1}||P{F}_{2}|$，
即$|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=\frac{8}{3}$．
∴S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}×\frac{8}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬中檔題．