Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4，x≤0}\\{x+\frac{1}{x}，x＞0}\end{array}\right.$，若關于x的方程f（2x+$\frac{1}{2}$）=m有3個不同的解，則m的取值范圍是（2，4]．

Answer 1

分析 令t=2x+$\frac{1}{2}$，則f（t）=m，作出函數(shù)f（x）的圖象，結合一次方程的根的個數(shù)，即可得到m的范圍．

解答 解：令t=2x+$\frac{1}{2}$，
則f（t）=m，
當t≤0時，f（t）≤4；當t＞0時，f（t）≥2；
由圖象可得，當m＜2時，t有一解；
當m=2時，t有兩解；
當2＜m≤4時，t有三解；
當m＞4時，t有兩解．
當m＜2時，t=2x+$\frac{1}{2}$一個根；
當m=2時，t=2x+$\frac{1}{2}$，方程有兩個實根；
當2＜m≤4時，t=2x+$\frac{1}{2}$有三個根；
當m＞4時，t=2x+$\frac{1}{2}$有兩個不同的實根．
綜上可得m的范圍是（2，4]．
故答案為：（2，4]．

點評 本題考查函數(shù)的性質和運用，主要考查函數(shù)的零點的判斷，注意運用數(shù)形結合的思想方法，屬于中檔題．