Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1的離心率與雙曲線y²-

x2

2

=1的離心率互為倒數(shù)，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)橢圓C₁的左焦點(diǎn)為

F

1

，右焦點(diǎn)為F₂，直線l₁過點(diǎn)F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直l₁于點(diǎn)P，線段PF₂垂直平分線交l₂于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（3）設(shè)第（2）問中的C₂與x軸交于點(diǎn)Q，不同的兩點(diǎn)R，S在C₂上，且滿足

QR

•

RS

=0，求|

QS

|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,棱錐的結(jié)構(gòu)特征,球的體積和表面積

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由雙曲線的方程即可得出雙曲線的離心率=

3

，進(jìn)而點(diǎn)到橢圓的離心率

c

a

=

3

3

，于是

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

3

，得到2a²=3b²．以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓為x²+y²=b²．由于直線l：y=x+2與次圓相切，利用點(diǎn)到直線的結(jié)論公式可得

2

2

=b，解出即可．
（2）根據(jù)拋物線的定義即可得出；
（3）由（2）知：Q（0，0），設(shè)R(

y12

4

，y1)，S(

y22

4

，y2)，再利用數(shù)量積運(yùn)算可得y₁，y₂的關(guān)系，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）∵雙曲線的離心率=

1+ 2 1

=

3

，
∴

c

a

=

3

3

，
即

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

3

，
∴2a²=3b²，
以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓為x²+y²=b²．
∵直線l：y=x+2與次圓相切，
∴

2

2

=b，
∴b=

2

，a=

3

，
∴橢圓C₁的方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）∵|MP|=|MF₂|，
∴動點(diǎn)M到定直線l₁：x=-1的距離等于它到定點(diǎn)F₁（1，0）的距離，
∴動點(diǎn)M的軌跡C₂是以l₁為準(zhǔn)線，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的拋物線，
∴點(diǎn)M的軌跡C₂的方程為y²=4x．
（3）由（2）知：Q（0，0），設(shè)R(

y12

4

，y1)，S(

y22

4

，y2)，
則

QR

=(

y 2 1

4

，y1)，

RS

=(

y22-y12

4

，y2-y1)，
∵

QR

•

RS

=0，
∴

y12(y22-y12)

16

+y1(y2-y1)=0，
由y₁≠y₂，y₁≠0，左式可化簡為：y2=-(y1+

16

y1

)，
∴y22=

y

2 1

+

256

y12

+32≥2

256

+32=64，
當(dāng)且僅當(dāng)y12=

256

y12

，即y₁=±4時取等號，
又|

QS

|=

( y22 4 )2+y22

=

1

4

(y22+8)2-64

(y22≥64)，
∴當(dāng)y22=64，即y₂=±8時，|

QS

|min=8

5

，
故|

QS

|的取值范圍是[8

5

，+∞)．

點(diǎn)評：本題綜合考查了圓錐曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、數(shù)量積運(yùn)算、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．