Question

已知圓M：（x-2）²+（y-2）²=10和點(diǎn)A（3，5），直線l經(jīng)過點(diǎn)A且與圓M相切．
（1）求直線l方程；
（2）過A作圓的兩條弦AB、AC，且直線AB和AC的斜率相反，求證直線BC的斜率為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：計(jì)算題,證明題,直線與圓

分析：（1）可知A在圓上，故A為切點(diǎn)，且切線只有一條，由相切的知識(shí)，求出斜率，由點(diǎn)斜式方程，即可得到切線方程；
（2）若直線AB與直線AC的斜率互為相反數(shù)，又它們都經(jīng)過A點(diǎn)，則可以設(shè)出它們的點(diǎn)斜式方程，代入圓方程后，求出BC兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入斜率公式，即可求證出正確的結(jié)論．

解答： （1）解：由于圓M：（x-2）²+（y-2）²=10和點(diǎn)A（3，5），
將A的坐標(biāo)代入圓方程成立，故A在圓上，
又圓心M為（2，2），
則直線AM的斜率為3，故切線的斜率為-

1

3

，
則切線方程為：y-5=-

1

3

（x-3），即x+3y-18=0．
故直線l的方程為：x+3y-18=0．
（2）證明：設(shè)AB：y=k（x-3）+5，代入圓的方程整理得：
（1+k²）x²+（6k-6k²-4）x+9k²-18k+3=0
∵3，x₁是上述方程的兩根，
∴3x₁=

9k2-18k+3

1+k2

，即x₁=

3k2-6k+1

1+k2

，y₁=

-6k2-2k

1+k2

．
由直線AB和AC的斜率相反，可設(shè)AC：y=-k（x-3）+5，
同理可得：x₂=

3k2+6k+1

1+k2

，y₂=

-6k2+2k

1+k2

，
∴k_BC=

y1-y2

x1-x2

=

1

3

則直線BC的斜率為定值

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線與圓相切的特點(diǎn)和直線方程與圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理求解，以及直線斜率的公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．