Question

10．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其中左焦點(diǎn)（-2，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，求線段AB的最大值．

Answer 1

分析 （1）路橢圓的離心率以及焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出a，b，即可求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)出A，B坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理以及表達(dá)式，求解弦長，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值．

解答 解：（1）橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其中左焦點(diǎn)（-2，0）．
可得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ c=2\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=2\sqrt{2}\\ c=2\end{array}\right.$；解得b=2，
橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）設(shè)A（x₁y₁），B（x₂y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=x+m\end{array}\right.⇒3{x^2}+4mx+2{m^2}-8=0$
∴$△=96-8{m^2}＞0⇒-2\sqrt{3}＜m＜2\sqrt{3}，{x_1}+{x_2}=-\frac{4m}{3}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{2{m^2}-8}}{3}$
∴$|{AB}|=\sqrt{1+1{\;}^2}•|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{2}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{4}{3}\sqrt{12-{m^2}}$
∴當(dāng)$m=0，{|{AB}|_{max}}=\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力．