Question

16．跳廣場舞是現(xiàn)在廣大市民喜愛的戶外健身運動，某健身運動公司為了解本地區(qū)市民對跳廣場舞的熱衷程度，隨機抽取了100名跳廣場舞的市民，統(tǒng)計其年齡（單位：歲）并整理得到如下的頻率分布直方圖（其中年齡的分組區(qū)間分別為[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]），其中女性市民有55名，將所抽樣本中年齡不小于50歲跳廣場舞的市民稱為“廣舞迷”．已知其中有30名女性廣舞迷．
（1）根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為廣舞迷與性別有關(guān)？

	廣舞迷	非廣舞迷	合計
男
女
合計

（2）將所抽樣本中不小于60歲的廣舞迷稱為“超級廣舞迷”，現(xiàn)從廣舞迷中隨機抽出2名市民，求其中超級廣舞迷人數(shù)的分布列與期望．
附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$；

P（K2≥k0）	0.05	0.025	0.010	0.005
k0	3.841	5.024	6.635	7.879

Answer 1

分析 （1）由題意，廣舞迷有（0.04×10+0.005×10）×100=45人，可得2×2列聯(lián)表，利用公式求出k²，與臨界值比較，即可得出結(jié)論；
（2）廣舞迷有（0.04×10+0.005×10）×100=45人，超級廣舞迷有0.005×10×100=5人，超級廣舞迷人數(shù)ξ的所有可能取值為0，1，2，求出相應的概率，即可求出隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（1）由題意，廣舞迷有（0.04×10+0.005×10）×100=45人．
2×2列聯(lián)表

	廣舞迷	非廣舞迷	合計
男	15	35	50
女	30	20	50
合計	45	55	100

k²=$\frac{100×（15×20-30×35）^{2}}{45×55×50×50}$=9.09＞7.879，
∴在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為廣舞迷與性別有關(guān)；
（2）廣舞迷有（0.04×10+0.005×10）×100=45人，超級廣舞迷有0.005×10×100=5人
超級廣舞迷人數(shù)ξ的所有可能取值為0，1，2，則
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{40}^{2}}{{C}_{45}^{2}}$=$\frac{26}{33}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{40}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{45}^{2}}$=$\frac{20}{99}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{45}^{2}}$=$\frac{1}{99}$
ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	$\frac{26}{33}$	$\frac{20}{99}$	$\frac{1}{99}$

∴Eξ=0×$\frac{26}{33}$+1×$\frac{20}{99}$+2×$\frac{1}{99}$=$\frac{2}{9}$．

點評 本題考查獨立性檢驗的應用，考查概率的求解，考查離散型隨機變量及其分布列，涉及數(shù)學期望的求解，屬中檔題．