Question

8．證明函數(shù)f（x）=$\frac{2-x}{x+2}$在（-2，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析 變形利用減函數(shù)的定義即可證明．

解答 解：f（x）=$\frac{2-x}{x+2}$=$\frac{4}{x+2}$-1，
?x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂．
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{4}{{x}_{1}+2}-1$-$（\frac{4}{{x}_{2}+2}-1）$=$\frac{4（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$，
∵x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂．
∴x₁+2＞0，x₂+2＞0，x₂-x₁＞0，
∴$\frac{4（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）=$\frac{2-x}{x+2}$在（-2，+∞）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了減函數(shù)的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．