Question

6．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，CC₁=4，M是棱CC₁的中點(diǎn)．
（1）求證：BC⊥AM；
（2）若N是AB的中點(diǎn)，求證CN∥平面AB₁M．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)證明BC⊥C₁C，BC⊥AC，推出BC⊥平面ACC₁A₁，然后證明BC⊥AM．
（2）取AB₁的中點(diǎn)P，連接MP，NP，證明NP∥B B₁，推出NP∥CM，然后證明CN∥平面AB₁M．

解答 （1）證明：∵ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
∴C₁C⊥平面ABC，∴BC⊥C₁C，
又BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∵AM在平面ACC₁A₁上，∴BC⊥AM． …（6分）
（2）證明：取AB₁的中點(diǎn)P，連接MP，NP，
∵P為A B₁中點(diǎn)，N為AB中點(diǎn)，∴NP為△AB B₁的中位線，∴NP∥B B₁，
又∵C₁C，B₁B都是直三棱柱的棱，∴C₁C∥B₁B，M是棱CC₁的中點(diǎn)，∴MC∥B₁B，
∴NP∥CM，NP=$\frac{1}{2}$BB₁=$\frac{1}{2}$CC₁=CM，
∴NP$\underset{∥}{=}$CM，四邊形CNPM為平行四邊形，
∴NC∥PM，∴CN∥平面AB₁M…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．