Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線(xiàn)l：y=2x-4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．
（1）若圓心C也在直線(xiàn)y=x-1上，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線(xiàn)，求切線(xiàn)的方程；
（2）若（1）中過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，求弦|EF|的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ y=x-1\end{array}\right.$得圓心C，可得圓C的方程，設(shè)出切線(xiàn)方程，運(yùn)用相切的條件d=r，解方程可得k，進(jìn)而得到切線(xiàn)方程；
（2）由切線(xiàn)方程和圓的方程聯(lián)立，可得切點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算即可得到弦長(zhǎng)．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ y=x-1\end{array}\right.$得圓心C為（3，2），
∵圓C的半徑為1，
∴圓C的方程為：（x-3）²+（y-2）²=1，
顯然切線(xiàn)的斜率一定存在，
設(shè)所求圓C的切線(xiàn)方程為y=kx+3，
∴$\frac{|3k-2+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
∴|3k+1|=$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
∴k=0或k=-$\frac{3}{4}$，
∴圓C的切線(xiàn)方程為：y=3或者y=-$\frac{3}{4}$x+3，
即y=3或3x+4y-12=0；
（2）由（1）知$\left\{{\begin{array}{l}{y=3}\\{{{（x-3）}^2}+{{（y-2）}^2}=1}\end{array}}\right.∴\left\{{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}}\right.∴E（3，3）$；
∵$直線(xiàn)FC⊥AF∴{k_{FC}}=\frac{4}{3}∴FC：y=\frac{4}{3}x-2$，
∵$\left\{\begin{array}{l}{3x+4y-12=0}\\{y=\frac{4}{3}x-2}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{5}}\\{y=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，即F（$\frac{12}{5}$，$\frac{6}{5}$）．
∴|EF|=$\sqrt{（\frac{12}{5}-3）^{2}+（\frac{6}{5}-3）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)和圓相切的條件，考查切線(xiàn)方程和切點(diǎn)弦長(zhǎng)的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．