Question

10．已知實數(shù)x，y滿足（x-1）²+（y+2）²=9．
（1）求|3x+4y+7|的取值范圍；
（2）求x²+y²+4x-4y+3的取值范圍．

Answer 1

分析 由已知x，y滿足的是以（1，-2）為圓心，3為半徑的圓，（1）設z=3x+4y+7，所求為直線在y軸上的截距有關(guān)；
（2）對所求平方得到（x+2）²+（y-2）²-5，所以只要求出圓上的點到（-2，2）的距離的平方的最值即可．

解答 解：由已知x，y滿足的是以（1，-2）為圓心，3為半徑的圓，
（1）設z=3x+4y+7，即3x+4y+7-z=0，當此直線與圓相切時$\frac{|3-8+7-z|}{5}$=3，解得z=-13或17，所以z∈[-13，17]，所以|z|∈[0，17]；即|3x+4y+7|的取值范圍是[0，17]；
（2）x²+y²+4x-4y+3=（x+2）²+（y-2）²-5，表示圓上的點到（-2，2）的距離的平方的減去5，而（x+2）²+（y-2）²的最小值為（$\sqrt{（-2-1）^2+（2+2）^2}-3$）²=4，最大值為（$\sqrt{（-2-1）^2+（2+2）^2}+$3）²=64，所以（x+2）²+（y-2）²-5的范圍是[-1，59]．

點評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題的應用，來求最值；關(guān)鍵是明確所求的幾何意義．