Question

7．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左右焦點分別是F₁、F₂，過原點作直線與橢圓交于A，B兩點，若△ABF₂的面積為$\sqrt{3}$，求直線的方程．

Answer 1

分析 求得橢圓的a，b，c，根據(jù)題意，${S}_{△AB{F}_{2}}$=${S}_{△B{F}_{1}{F}_{2}}$=$\sqrt{3}$，設(shè)B（x，y），代入可得y=±1，由橢圓方程可得x=0，即可得到直線的方程．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
根據(jù)題意，${S}_{△AB{F}_{2}}$=${S}_{△B{F}_{1}{F}_{2}}$=$\sqrt{3}$，
設(shè)B（x，y），則${S}_{△B{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y|=$\sqrt{3}$，
|F₁F₂|=2c=2$\sqrt{3}$，
∴y=±1，把y=±1代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
解得x=0，
∴B點的坐標為（0，±1），
∴直線AB的方程為x=0．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，三角形的面積公式的運用，直線方程的求法，屬于中檔題．