Question

2．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1a_n-2a_n+1+1=0（n∈N^*）
（Ⅰ）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求證：$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$＞n+2-2$\sqrt{n+2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$化簡(jiǎn)、計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）可知a_n=$\frac{n}{n+1}$，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 證明：（Ⅰ）∵a_n+1a_n-2a_n+1+1=0，
∴a_n+1a_n+1=2a_n+1，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{{（a}_{n}-1）-（{a}_{n+1}-1）}{{a}_{n+1}{a}_{n}-{a}_{n}-{a}_{n+1}+1}$=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{2{a}_{n+1}-{a}_{n}-{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=-1，
又∵a₁=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}-1}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}-1}$=-2，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以-2為首項(xiàng)、-1為公差的等差數(shù)列；
（Ⅱ）由（I）可知$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=-2+（n-1）•（-1）=-n-1，
∴a_n=1+$\frac{1}{-n-1}$=$\frac{n}{n+1}$，
下面用數(shù)學(xué)歸納法來證明：$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$＞n+2-2$\sqrt{n+2}$．
①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=$\sqrt{{a}_{1}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞0，右邊=1+2-2$\sqrt{1+2}$=3-2$\sqrt{3}$＜0，結(jié)論成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即：$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+…+$\sqrt{{a}_{k}}$＞k+2-2$\sqrt{k+2}$，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，在上式兩邊同時(shí)加上$\sqrt{\frac{k+1}{k+2}}$，得：
$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+…+$\sqrt{{a}_{k}}$+$\sqrt{\frac{k+1}{k+2}}$＞k+2-2$\sqrt{k+2}$+$\sqrt{\frac{k+1}{k+2}}$，
下面用分析法證明：k+2-2$\sqrt{k+2}$+$\sqrt{\frac{k+1}{k+2}}$＞（k+1）+2-2$\sqrt{k+3}$，
即證：-2$\sqrt{k+2}$+$\sqrt{\frac{k+1}{k+2}}$＞1-2$\sqrt{k+3}$，
即證：2$\sqrt{k+3}$-2$\sqrt{k+2}$+$\sqrt{\frac{k+1}{k+2}}$＞1，
即：2$\sqrt{（k+3）（k+2）}$-2（k+2）+$\sqrt{k+1}$＞$\sqrt{k+2}$，
即：2$\sqrt{{k}^{2}+5k+6}$+$\sqrt{k+1}$＞2k+4+$\sqrt{k+2}$，
而2$\sqrt{{k}^{2}+5k+6}$+$\sqrt{k+1}$＞2$\sqrt{（k+\frac{9}{4}）^{2}}$+$\sqrt{k+1}$
=2k+$\frac{9}{2}$+$\sqrt{k+1}$
=（2k+4）+（$\frac{1}{2}$+$\sqrt{k+1}$）
=（2k+4）+$\frac{1+2\sqrt{k+1}}{2}$
=（2k+4）+$\frac{\sqrt{（1+2\sqrt{k+1}）^{2}}}{2}$
=（2k+4）+$\frac{\sqrt{1+4k+4+4\sqrt{k+1}}}{2}$
＞（2k+4）+$\frac{\sqrt{4k+8}}{2}$
=2k+4+$\sqrt{k+2}$，
由分析法原理可知2$\sqrt{{k}^{2}+5k+6}$+$\sqrt{k+1}$＞2k+4+$\sqrt{k+2}$，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立；
綜上所述，$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$＞n+2-2$\sqrt{n+2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查等差數(shù)列的判定，考查數(shù)學(xué)歸納法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．