Question

4．求與橢圓$\frac{{x}^{2}}{121}+\frac{{y}^{2}}{146}$=1有共同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)（0，3）的雙曲線的方程，并求出該雙曲線的實(shí)軸長、焦距、離心率．

Answer 1

分析 求得橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)所求雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），由題意可得a=3，求得b=4，可得實(shí)軸長為2a，焦距為2c，運(yùn)用離心率公式計(jì)算即可得到所求．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{121}+\frac{{y}^{2}}{146}$=1的焦點(diǎn)為（0，±5），
可設(shè)所求雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
由題意可得a²+b²=25，
由雙曲線過點(diǎn)（0，3），可得a=3，b=4，
可得雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{16}$=1，
可得實(shí)軸長為2a=6，焦距為10，
離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的焦點(diǎn)，考查雙曲線的實(shí)軸長、焦距和離心率的求法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．