Question

9．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{1}{2}$，且經(jīng)過點$P（1，\frac{3}{2}）$，兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過F₁的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，若△AF₂B的內(nèi)切圓半徑為$\frac{{3\sqrt{2}}}{7}$，求以F₂為圓心且與直線l相切的圓的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，且經(jīng)過點$P（1，\frac{3}{2}）$，求出a，b，c，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=ty-1，代入橢圓方程得（4+3t²）y²-6ty-9=0，由此利用韋達(dá)定理、根的判別式、弦長公式、直線與圓相切，結(jié)合已知條件能求出圓的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{1}{2}$，且經(jīng)過點$P（1，\frac{3}{2}）$，兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂．
∴$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a=2c，∴a²=4c²，b²=3c²，
將點$P（1，\frac{3}{2}）$的坐標(biāo)代入橢圓方程得c²=1，
故所求橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=ty-1，代入橢圓方程得（4+3t²）y²-6ty-9=0，
判別式大于0恒成立，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），△AF₂B的內(nèi)切圓半徑為r₀，
則有${y_1}+{y_2}=\frac{6t}{{4+3{t^2}}}$，${y_1}{y_2}=\frac{-9}{{4+3{t^2}}}$，${r_0}=\frac{{3\sqrt{2}}}{7}$
∴${S_{△A{F_2}B}}={S_{△A{F_1}{F_2}}}+{S_{△B{F_1}{F_2}}}=\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|•|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|•\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$=$\frac{{12\sqrt{{t^2}+1}}}{{4+3{t^2}}}$，
而${S_{△A{F_2}B}}=\frac{1}{2}|AB|{r_0}+\frac{1}{2}|B{F_2}|{r_0}+\frac{1}{2}|A{F_2}|{r_0}=\frac{1}{2}{r_0}（|AB|+|B{F_2}|+|A{F_2}|）$
=$\frac{1}{2}{r_0}（|A{F_1}|+|B{F_1}|+|B{F_2}|+|A{F_2}|）=\frac{1}{2}{r_0}•4a$
=$\frac{1}{2}×8×\frac{{3\sqrt{2}}}{7}=\frac{{12\sqrt{2}}}{7}$，
∴$\frac{{12\sqrt{{t^2}+1}}}{{4+3{t^2}}}=\frac{{12\sqrt{2}}}{7}$，解得t²=1，
∵所求圓與直線l相切，∴半徑$r=\frac{2}{{\sqrt{{t^2}+1}}}$=$\sqrt{2}$，
∴所求圓的方程為（x-1）²+y²=2．…（12分）

點評 本題考查橢圓方程、圓的方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、根的判別式、弦長公式、直線與圓相切的性質(zhì)的合理運用．