Question

14．A、B兩袋中各裝有大小相同的小球9個(gè)，其中A袋中紅色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)分別為2，3，4，B袋中紅色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)均為3，甲從A袋中取球，乙從B袋中取球．
（Ⅰ）若甲、乙各取一球，求兩人中所取的球顏色不同的概率；
（Ⅱ）若甲、乙各取兩球，稱(chēng)一人手中所取兩球顏色相同的取法為一次成功取法，記兩人成功取法的次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)事件A為“兩人中所取的球顏色不同”，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出兩人中所取的球顏色不同的概率．
（Ⅱ）依題意，X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 （本小題滿(mǎn)分13分）
解：（Ⅰ）設(shè)事件A為“兩人中所取的球顏色不同”，
則P（A）=1-$\frac{2×3+3×3+4×3}{9×9}$=$\frac{2}{3}$．
（Ⅱ）依題意，X的可能取值為0，1，2．
甲所取的兩球顏色相同的概率為$\frac{{C}_{2}^{2}+{C}_{3}^{2}+{C}_{4}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{5}{18}$，
乙所取的兩球顏色相同的概率為$\frac{{C}_{3}^{2}+{C}_{3}^{2}+{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=0）=（1-$\frac{5}{18}$）（1-$\frac{1}{4}$）=$\frac{13}{24}$，
P（X=1）=$\frac{5}{18}（1-\frac{1}{4}）+（1-\frac{5}{18}）×\frac{1}{4}$=$\frac{7}{18}$，
P（X=2）=$\frac{5}{18}×\frac{1}{4}$=$\frac{5}{72}$，
所以X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{13}{24}$	$\frac{7}{18}$	$\frac{5}{72}$

EX=$0×\frac{13}{24}+1×\frac{7}{18}+2×\frac{5}{72}$=$\frac{19}{36}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．