Question

11．如圖，在四棱錐S-ABDC中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1，AD=$\frac{1}{2}$，E為SC的中點(diǎn)．
（1）證明：DE∥平面SAB：
（2）求直線SB與平面SCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明DE∥平面SAB．
（2）求出平面SCD的法向量，利用向量法能求出直線SB與平面SCD所成角的正弦值．

解答 證明：（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得D（0，$\frac{1}{2}$，0），S（0，0，1），C（1，1，0），E（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}$），
平面SAB的法向量$\overrightarrow{AD}$=（0，$\frac{1}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{DE}$=0，
∵DE?平面SAB，∴DE∥平面SAB．
解：（2）B（1，0，0），$\overrightarrow{SB}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{SC}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{SD}$=（0，$\frac{1}{2}$，-1），
設(shè)平面SCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}=x+y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SD}=\frac{1}{2}y-z=0}\end{array}\right.$，取y=2，得$\overrightarrow{n}$=（-1，2，1），
設(shè)直線SB與平面SCD所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{SB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{SB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2|}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直線SB與平面SCD所成角的正弦值$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．