Question

2．給出下列四個命題：
①f（x）=x³-3x²是增函數(shù)，無極值．
②f（x）=x³-3x²在（-∞，2）上沒有最大值
③若命題p：a=0是復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）為純虛數(shù)的充分條件，命題q：f′（x₀）=0是“點(diǎn)x₀是可導(dǎo)函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)”的必要條件，則￢p∧q為真．
④設(shè)z₁，z₂是復(fù)數(shù)，z₁²+z₂²=0?z₁=z₂=0
其中正確命題的個數(shù)為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 對4個命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：①∵f（x）=x³-3x²，∴f′（x）=3x²-6x，
由f′（x）=0，得x=0或x=2，
當(dāng)x∈（-∞，0）時，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（0，2）時，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0．
∴f（x）的增區(qū)間是（-∞，0），（2，+∞）；減區(qū)間是（0，2）．
∴f（x）_極大值=f（0）=0，f（x）_極小值=f（2）=-4．
∴①不正確；
由①可得f（x）=x³-3x²在（-∞，2）上有最大值0，不正確；
③復(fù)數(shù)z=a+b i（a，b∈R）為純虛數(shù)的充要條件是實(shí)部為0且虛部不為0．a(chǎn)=0時，復(fù)數(shù)z=a+b i（a，b∈R）不一定為純虛數(shù)．若復(fù)數(shù)z=a+b i（a，b∈R）為純虛數(shù)，必有a=0．所以a=0是復(fù)數(shù)z=a+b i（a，b∈R）為純虛數(shù)的必要但不充分條件；若函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x₀處有極值，則f′（x₀）=0；反之不一定，例如取f（x）=x³，雖然f′（0）=0，但是函數(shù)f（x）在x=0處沒有極值．因此f′（x₀）=0是可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x₀處有極值的必要非充分條件．∴￢p∧q為真，正確．
④若z₁，z₂∈C，且z₁²+z₂²=0，則z₁=z₂=0；z₁=i，z₂=-i，時滿足題意，顯然不正確．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查復(fù)數(shù)知識，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．