Question

13．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、O分別為BB₁，BC，B₁D₁的中點(diǎn)，求異面直線OB與MN所成角的余弦值．

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線OB與MN所成角的余弦值．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長(zhǎng)為2，
則O（1，1，2），B（2，2，0），M（2，2，1），N（1，2，0），
$\overrightarrow{OB}$=（1，1，-2），$\overrightarrow{MN}$=（-1，0，-1），
設(shè)異面直線OB與MN所成角為θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{MN}|}{|\overrightarrow{OB}|•|\overrightarrow{MN}|}$=$\frac{1}{\sqrt{6}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴異面直線OB與MN所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．