Question

3．已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=2，點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，-1），過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為A、B．
（1）求直線PA，PB的方程；    
（2）求切線長(zhǎng)|PA|的值；
（3）求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）易知切線斜率存在，設(shè)過(guò)P點(diǎn)圓的切線方程為y+1=k（x-2），代入點(diǎn)到直線距離公式，可得答案；
（2）求出點(diǎn)到圓心的距離，結(jié)構(gòu)勾股定理，可得切線長(zhǎng)|PA|的值；
（3）根據(jù)AB與PC垂直，求出直線AB的斜率，根據(jù)弦心距，可得直線AB的方程．

解答 解：（1）易知切線斜率存在，設(shè)過(guò)P點(diǎn)圓的切線方程為y+1=k（x-2），
即kx-y-2k-1=0．
∵圓心（1，2）到直線的距離為$\sqrt{2}$，
∴$\frac{|-k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
解得k=7，或k=-1，
故所求的切線方程為7x-y-15=0，或x+y-1=0

（2）在Rt△PCA中，
∵|PC|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（-1-2）^{2}}$=$\sqrt{10}$，|CA|=$\sqrt{2}$，
∴|PA|²=|PC|²-|CA|²=8．
∴過(guò)點(diǎn)P的圓的切線長(zhǎng)為2.$\sqrt{2}$
（3）容易求出k_PC=-3，所以k_AB=$\frac{1}{3}$，
如圖，由CA²=CD•PC，可求出CD=$\frac{{CA}^{2}}{PC}$=$\frac{2}{\sqrt{10}}$，
設(shè)直線AB的方程為y=$\frac{1}{3}$x+b，即x-3y+3b=0
由$\frac{2}{\sqrt{10}}$=$\frac{|1-6+3b|}{\sqrt{1+{3}^{2}}}$，
解得b=1或b=$\frac{1}{3}$（舍）
所以直線AB的方程為x-3y+3=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，兩點(diǎn)間距離公式，難度中檔．