Question

2．某跨國飲料公司對全世界所有人均GDP（即人均純收入）在0.5-8千美元的地區(qū)銷售，該公司在對M飲料的銷售情況的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)：人均GDP處在中等的地區(qū)對該飲料的銷售量最多，然后向兩邊遞減．
（1）下列幾個模擬函數(shù)中（x表示人均GDP，單位：千美元；y表示年人均M飲料的銷量，單位：升），用哪個來描述人均飲料銷量與地區(qū)的人均GDP的關系更合適？說明理由；
（A）f（x）=ax²+bx
（B）f（x）=log_ax+b
（C）f（x）=a^x+b
（2）若人均GDP為2千美元時，年人均M飲料的銷量為6升；人均GDP為4千美元時，年人均M飲料的銷量為8升；把你所選的模擬函數(shù)求出來；
（3）因為M飲料在N國被檢測出殺蟲劑的含量超標，受此事件影響，M飲料在人均GDP不高于3千美元的地區(qū)銷量下降5%，不低于5千美元的地區(qū)銷量下降5%，其他地區(qū)的銷量下降10%，根據(jù)（2）所求出的模擬函數(shù)，求在0.5-8千美元的地區(qū)中，年人均M飲料的銷量最多為多少？

Answer 1

分析 （1）考慮到A，B，C，D四個函數(shù)中只有A符合題意，因為B，C，D三個函數(shù)是單調(diào)函數(shù)．
（2）用待定系數(shù)法求出A的解析式可得．
（3）根據(jù)題中人均GDP的要求范圍把x的取值分成三段，分別求出每一段的最大值，并比較去最大即可．

解答 解：（1）由于（B）、（C）、（D）三個函數(shù)，在[0.5，8]上均為單調(diào)函數(shù)，…（2分）
而（A）為二次函數(shù)，不單調(diào)，故（A）更適合…（4分）
（2）由題意$\left\{\begin{array}{l}f（2）=6\\ f（4）=8\end{array}\right.⇒$a=-$\frac{1}{2}$，b=4…（6分）
則$f（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+4x$，x∈[0.5，8]…（8分）
（3）設受事件影響后，各地區(qū)M飲料銷售量為g（x），則$g（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{19}{20}（-\frac{1}{2}{x^2}+4x），\;\;0.5≤x≤3\\ \frac{9}{10}（-\frac{1}{2}{x^2}+4x），\;\;3＜x＜5\\ \frac{19}{20}（-\frac{1}{2}{x^2}+4x），\;\;5≤x≤8\end{array}\right.$
當x∈[0.5，3]時，y=$\frac{19}{20}$[-$\frac{1}{2}$（x-4）²+8]，在x∈[0.5，3]上遞增，所以y_max=$\frac{57}{8}$
當x∈[5，8]時，y=$\frac{19}{20}$[-$\frac{1}{2}$（x-4）²+8]，在x∈[5，8]上遞減，所以y_max=$\frac{57}{8}$
當x∈（3，5）時，y=$\frac{9}{10}$[-$\frac{1}{2}$（x-4）²+8]，4∈（3，5），所以y_max=$\frac{36}{5}$
比較大小得：當x=4時，y_max=$\frac{36}{5}$
答：當人均GDP在4千美元的地區(qū)，人均A飲料的銷量最多為$\frac{36}{5}$．

點評 考查學生會根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型，會用不同的自變量取值求二次函數(shù)的最值及比較出最值．