Question

13．已知函數(shù)f（x）=lg（x+1）
（1）當(dāng)x∈[1，9]時，求函數(shù)f（x）的反函數(shù)；
（2）若0＜f（1-2x）-f（x）＜1，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先確定函數(shù)的值域，就是其反函數(shù)的定義域，再對函數(shù)求反函數(shù)；
（2）將該不等式等價為：1＜$\frac{2-2x}{x+1}$＜10且x+1＞0，再直接解不等式即可．

解答 解：（1）∵y=f（x）=lg（x+1），
∴當(dāng)x∈[1，9]時，y∈[lg2，1]，
且x+1=10^y，即x=10^y-1，
互換x，y得，y=10^x-1，
所以，f^-1（x）=10^x-1，x∈[lg2，1]；
（2）不等式0＜f（1-2x）-f（x）＜1可化為：
0＜lg$\frac{2-2x}{x+1}$＜1，等價為：
1＜$\frac{2-2x}{x+1}$＜10且x+1＞0，
解得x∈（-$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），
所以，原不等式中x的取值范圍為：（-$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查了反函數(shù)的解法及其定義域的確定，以及對數(shù)不等式與分式不等式的解法，屬于中檔題．