Question

11．給出三條直線l₁：4x+y=4，l₂：mx+y=0，l₃：2x-3my=4．
（1）m為何值時，三線共點；
（2）m=0時，三條直線能圍成一個三角形嗎？
（3）求當(dāng)三條直線圍成三角形時，m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出兩條直線的交點坐標(biāo)代入第三條直線，求解m即可；
（2）通過m=0時，轉(zhuǎn)化三條直線方程判斷能圍成一個三角形．
（3）由三條直線中的任意兩條平行求得m的值，再由三條直線相交于一點求得m的值，則l₁，l₂，l₃不能圍成一個三角形的m的所有取值組成的集合可求．

解答 解：（1）直線l₁：4x+y=4，l₂：mx+y=0，的交點坐標(biāo)為：（$\frac{4}{4-m}$，-$\frac{4m}{4-m}$），
交點代入直線l₃：2x-3my=4．可得：m=-1，或m=$\frac{2}{3}$．此時三條直線共點．
（2）m=0時，三條直線l₁：4x+y=4，l₂：mx+y=0，l₃：2x-3my=4．
化為三條直線l₁：4x+y=4，l₂：y=0，l₃：x=2．
顯然三條直線能夠組成一個三角形．
（3）解：當(dāng)直線l₁：4x+y-4=0 平行于 l₂：mx+y=0時，m=4．
當(dāng)直線l₁：4x+y-4=0 平行于 l₃：2x-3my-4=0時，m=-$\frac{1}{6}$，
當(dāng)l₂：mx+y=0 平行于 l₃：2x-3my-4=0時，-m=$\frac{2}{3m}$，m無解．
當(dāng)三條直線經(jīng)過同一個點時，把直線l₁ 與l₂的交點（$\frac{4}{4-m}$，-$\frac{4m}{4-m}$）代入l₃：2x-3my-4=0，解得m=-1或$\frac{2}{3}$．
綜上，m為4或-$\frac{1}{6}$或-1或$\frac{2}{3}$．三條直線不能構(gòu)成三角形．
故當(dāng)三條直線圍成三角形時，m的取值范圍（-∞，-1）∪（-1，$-\frac{1}{6}$）∪（$-\frac{1}{6}$，$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{2}{3}，4$）∪（4，+∞）

點評 本題考查了兩直線平行的條件，考查了兩直線交點坐標(biāo)的求法，是中檔題．