Question

14．某城市隨機監(jiān)測一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量PM2.5的數(shù)據(jù)API，結(jié)果統(tǒng)計如下：

API	[0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，250]	（250，+∞）
天數(shù)	6	12	22	30	14	16

（1）若將API值低于150的天氣視為“好天”，并將頻率視為概率，根據(jù)上述表格，預(yù)測今年高考6月7日、8日兩天連續(xù)出現(xiàn)“好天”的概率；
（2）API值對部分生產(chǎn)企業(yè)有著重大的影響，假設(shè)某企業(yè)的日利潤f（x）與API值x的函數(shù)關(guān)系為：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}40（x≤150）\\ 15（x＞150）\end{array}$（單位；萬元），利用分層抽樣的方式從監(jiān)測的100天中選出10天，再從這10天中任取3天計算企業(yè)利潤之和X，求離散型隨機變量X的分布列以及數(shù)學(xué)期望和方差．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)分布表格得出續(xù)兩天出現(xiàn)“好天”的概率．
（2）確定X的所有可能取值為45，70，95，120，利用二項分的概率知識求解$P（X=70）=C_3^1×0.4×{（0.6）^2}=0.432$，$P（X=95）=C_3^2×{（0.4）^2}×0.6=0.288$，P（X=120）=（0.4）³=0.064，根據(jù)利用分布列求解E（X），D（X）．

解答 解：（1）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)出現(xiàn)好天的概率為0.4，
則連續(xù)兩天出現(xiàn)“好天”的概率為0.4×0.4=0.16．
（2）X的所有可能取值為45，70，95，120
．P（X=45）=（0.6）³=0.216
$P（X=70）=C_3^1×0.4×{（0.6）^2}=0.432$
$P（X=95）=C_3^2×{（0.4）^2}×0.6=0.288$
P（X=120）=（0.4）³=0.064

X	45	70	95	120
P	0.216	0.432	0.288	0.064

E（X）=45×0.216+70×0.432+95×0.288+120×0.064=75
D（X）=（45-75）²×0.216+（70-75）²×0.432+（95-75）²×0.288+（120-75）²×0.064=450

點評 本小題主要考查統(tǒng)計與概率的相關(guān)知識，其中包括概率的求法、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望以及方差．本題主要考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和運算求解能力．