Question

1．如圖，已知橢圓C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m}$=1（0＜m＜4）的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，0）．若橢圓C上存在點(diǎn)M（點(diǎn)M異于點(diǎn)A），使得點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的點(diǎn)P滿足PO=$\sqrt{2}$PN，則實(shí)數(shù)m的最大值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)M（x₀，y₀），則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{m}$=1，因?yàn)镻O=$\sqrt{2}$PN，所以可得：2x₀²+2y₀²=1．兩式聯(lián)立，表示出m，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：依題意，M是線段AP的中點(diǎn)，A（-2，0），
設(shè)M（x₀，y₀），則 $\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{m}$=1①，由題意知-2＜x₀＜2．
因?yàn)镸是線段AP的中點(diǎn)，所以P（2x₀+2，2y₀）．
因?yàn)镻O=$\sqrt{2}$PN，N的坐標(biāo)為（1，0）．
所以$\sqrt{（2{x}_{0}+2）^{2}+（2{y}_{0}）^{2}}$=$\sqrt{2}$$\sqrt{（2{x}_{0}+1）^{2}+（2{y}_{0}）^{2}}$．
整理可得：2x₀²+2y₀²=1，②
由①②消去y₀，整理可得m=$\frac{2-4{{x}_{0}}^{2}}{4-{{x}_{0}}^{2}}$=4-$\frac{14}{4-{{x}_{0}}^{2}}$，
利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：當(dāng)x₀=0時(shí)，m的最大值是$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程，考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確表示點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．