Question

6．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，且PA⊥底面ABCD中，AB=1，PA=2．
（I）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求三棱錐B-PAC的體積；
（Ⅲ）在線段PC上是否存在一點M，使PC⊥平面MBD，若存在，請證明；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （I）由PA⊥底面ABCD得PA⊥BD，由正方形的性質得AC⊥BD，故BD⊥平面PAC；
（II）以△ABC為棱錐底面，PA為棱錐的高，代入體積公式計算即可；
（III）過D作DM⊥PC，垂足為M，則PC⊥平面BDM．

解答 解：（Ⅰ） 證明：因為PA⊥底面ABCD，DB?面ABCD，
所以PA⊥DB．
又因為四邊形ABCD是正方形，
所以AC⊥DB
在平面PAC中，PA∩AC=A，
所以DB⊥平面PAC．
（Ⅱ） 因為PA⊥底面ABCD，
所以點P到平面ABC的距離為PA的長．
又因為四邊形ABCD是正方形，且AB=1，PA=2，
所以${V_{B-PAC}}={V_{P-ABC}}=\frac{1}{3}×PA×\frac{1}{2}×AB×BC$=$\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{3}$．
（Ⅲ）在△PDC中，過點D作DM⊥PC，交PC于點M．
由（Ⅰ）已證DB⊥平面PAC，
因為PC?面PAC，
所以DB⊥PC．
因為在平面DMB中，DM∩DB=D
所以PC⊥平面DMB．
所以在線段PC上存在一點M，使PC⊥平面DMB．

點評 本題考查了線面垂直的性質與判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．