Question

13．如圖，棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求證：AC⊥平面B₁D₁DB；
（2）求三棱錐B-CD₁B₁的體積．

Answer 1

分析 （1）由DD₁⊥平面ABCD可得DD₁⊥AC，又AC⊥BD，故而AC⊥平面B₁D₁DB；
（2）設(shè)AC，BD交于點O，以△B₁BD₁為棱錐的底面，則棱錐的高為OC，代入體積公式計算．

解答 解：（1）證明：∵DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴DD₁⊥AC，
∵正方形ABCD中，∴AC⊥BD，
又DD₁?平面B₁D₁DB，BD?B₁D₁DB，DD₁∩BD=D，
∴AC⊥平面B₁D₁DB．
（2）∵B₁D₁=$\sqrt{2}$，BB₁=1，∴S${\;}_{△{B}_{1}B{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}{B}_{1}{D}_{1}•B{B}_{1}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵設(shè)AB，CD交點為O，則OC=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵AC⊥平面B₁D₁DB，
∴三棱錐B-CD₁B₁的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△{B}_{1}B{D}_{1}}•OC$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征，線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于基礎(chǔ)題．