Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²，g（x）=$\frac{2}{x}$．
（1）若F（x）=f（x）+g（x），解不等式F（x）-F（x-1）＞2x-1；
（2）當(dāng)x∈[-1，+∞）時(shí)，f（x）+g（x）（-ax²+x）≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）代入化簡(jiǎn)，解不等式即可，
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x²-2ax+2-a≥0，在[-1，+∞）恒成立，構(gòu)造函數(shù)，分類討論即可．

解答 解：（1）F（x）=f（x）+g（x）=x²+$\frac{2}{x}$，
∴F（x）-F（x-1）=x²+$\frac{2}{x}$-（x-1）²-$\frac{2}{x-1}$=2x-1-$\frac{2}{x（x-1）}$，
∵F（x）-F（x-1）＞2x-1，
∴2x-1-$\frac{2}{x（x-1）}$＞2x-1，
∴$\frac{2}{x（x-1）}$＜0，
∴x（x-1）＜0，
解得0＜x＜1，
故不等式的解集為（0，1），
（2）∵x∈[-1，+∞）時(shí)，f（x）+g（x）（-ax²+x）≥a恒成立，
即x²-2ax+2-a≥0，在[-1，+∞）恒成立，
設(shè)h（x）=x²-2ax+2-a，
當(dāng)△=4a²-4（2-a）≤0時(shí)，即-1≤a≤2，h（x）≥0恒成立，
當(dāng)△=4a²-4（2-a）＞0，即a＜-1或a＞2時(shí)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1}\\{h（-1）≥0}\end{array}\right.$，解得-3≤a＜-1，
綜上所述a的取值范圍為[-3，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的解法，和恒成立的問(wèn)題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．