Question

16．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足b²-（a-c）²=（2-$\sqrt{3}$）ac
（Ⅰ）求角B的大�。�
（Ⅱ）若BC邊上的中線AD的長為3，cos∠ADC=-$\frac{1}{4}$，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡已知等式可得a²+c²-b²=$\sqrt{3}$ac，由余弦定理解得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，結(jié)合B的范圍，即可求B的值．
（Ⅱ）由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin∠ADC，利用兩角差的正弦函數(shù)公式可求sin∠BAD的值，由正弦定理，即可解得BD，從而可求a的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，因為b²-（a-c）²=（2-$\sqrt{3}$）ac，
所以a²+c²-b²=$\sqrt{3}$ac，
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{3}ac}{2ac}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又因為B為△ABC的內(nèi)角，所以B=$\frac{π}{6}$．…（5分）
（Ⅱ）∵cos∠ADC=-$\frac{1}{4}$，
∴sin∠ADC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
∴sin∠BAD=sin（∠ADC-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{5}+1}{8}$．…（8分）
△ABD中，由正弦定理，得$\frac{AD}{sinB}=\frac{BD}{sin∠BAD}$，即$\frac{3}{\frac{1}{2}}=\frac{BD}{\frac{3\sqrt{5}+1}{8}}$，
解得BD=$\frac{9\sqrt{5}+3}{4}$，
故a=$\frac{9\sqrt{5}+3}{2}$．…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．