Question

2．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=e^x-a，求出極值點，利用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間．
（2）f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，轉(zhuǎn)化在x∈R上，f（x）_min≥0．構(gòu)造函數(shù)g（a）=a-alna-1，g（a）≥0，通過g′（a）與函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值求解a即可．

解答 解：（1）由題意a＞0，f′（x）=e^x-a，由f′（x）=e^x-a=0得x=lna，
當(dāng)x∈（-∞，lna）時，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（lna，+∞）時，f′（x）＞0．
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，lna），單調(diào)遞增區(qū)間為（lna，+∞）．（4分）
（2）f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）_min≥0．
由（1）知f（x）在x=lna處取得極小值，且為最小值，其最小值為f（lna）=e^lna-alna-1=a-alna-1．
設(shè)g（a）=a-alna-1，所以g（a）≥0，由g′（a）=1-lna-1=-lna=0得a=1
∴g（a）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（a）在a=1處取得極大值g（1）=0，因此g（a）≥0的解為a=1，
∴a=1．                                   （10分）

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的最值的求法，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．