Question

16．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右頂點(diǎn)分別為A₁，A₂，點(diǎn)P在C上且直線PA₂斜率的取值范圍是[-4，-2]，那么直線PA₁斜率的取值范圍是（　�。�

• A． [-1，-$\frac{3}{10}$]
• B． [$\frac{3}{8}$，$\frac{3}{4}$]
• C． [-$\frac{3}{10}$，-$\frac{3}{20}$]
• D． [$\frac{3}{20}$，$\frac{3}{10}$]

Answer 1

分析 由雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1可知其左頂點(diǎn)A₁（-$\sqrt{5}$，0），右頂點(diǎn)A₂（$\sqrt{5}$，0）．設(shè)P（x₀，y₀）（x₀≠±$\sqrt{5}$），則得$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-5}$=$\frac{3}{5}$，記直線PA₁的斜率為k₁，直線PA₂的斜率為k₂，則k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-5}$=$\frac{3}{5}$，再利用已知給出的直線PA₂斜率的取值范圍是[-4，-2]，即可解出．

解答 解：由雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1可知其左頂點(diǎn)A₁（-$\sqrt{5}$，0），右頂點(diǎn)A₂（$\sqrt{5}$，0）．
設(shè)P（x₀，y₀）（x₀≠±$\sqrt{5}$），則得$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-5}$=$\frac{3}{5}$．
記直線PA₁的斜率為k₁，直線PA₂的斜率為k₂，則k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-5}$=$\frac{3}{5}$，
∵直線PA₂斜率的取值范圍是[-4，-2]，
∴直線PA₁斜率的取值范圍是[-$\frac{3}{10}$，-$\frac{3}{20}$]，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率的計(jì)算公式、不等式的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．