Question

14．已知函數(shù)y=lg（$\frac{1}{x}$-1）的定義域為A，若對任意x∈A都有不等式$\frac{9x}{2-2x}$-m²x-2mx＞-2恒成立，則正實數(shù)m的取值范圍是（0，$\frac{3\sqrt{6}-2}{2}$）．

Answer 1

分析 運用對數(shù)的真數(shù)大于0，可得A=（0，1），對已知不等式兩邊除以x，運用參數(shù)分離和乘1法，結合基本不等式可得不等式右邊$\frac{\frac{9}{2}}{1-x}$+$\frac{2}{x}$的最小值，再解m的不等式即可得到m的范圍．

解答 解：由函數(shù)y=lg（$\frac{1}{x}$-1）可得，
$\frac{1}{x}$-1＞0，解得0＜x＜1，
即有A=（0，1），
對任意x∈A都有不等式$\frac{9x}{2-2x}$-m²x-2mx＞-2恒成立，即有
$\frac{9}{2-2x}$-m²-2m＞-$\frac{2}{x}$，整理可得m²+2m＜$\frac{\frac{9}{2}}{1-x}$+$\frac{2}{x}$在（0，1）恒成立，
由$\frac{\frac{9}{2}}{1-x}$+$\frac{2}{x}$=（$\frac{\frac{9}{2}}{1-x}$+$\frac{2}{x}$）（1-x+x）=$\frac{9}{2}$+2+$\frac{\frac{9}{2}x}{1-x}$+$\frac{2（1-x）}{x}$
≥$\frac{13}{2}$+2$\sqrt{\frac{9}{2}×2}$=$\frac{25}{2}$．
即有m²+2m＜$\frac{25}{2}$，由于m＞0，
解得0＜m＜$\frac{3\sqrt{6}-2}{2}$，
故答案為：（0，$\frac{3\sqrt{6}-2}{2}$）．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和基本不等式，考查運算求解能力，屬于中檔題．