Question

11．在邊長為1的正△ABC中，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{EC}$，AD與BE相交于點F．
（1）求$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BE}$的值；
（2）若$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FD}$，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）通過題意可得AD⊥BC，設$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，利用$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，代入計算即可；
（2）通過計算可得$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AF}$=-$\frac{λ+2}{2（1+λ）}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{λ}{2（1+λ）}$$\overrightarrow{AC}$，記$\overrightarrow{BF}$=μ$\overrightarrow{BE}$，通過計算可得$\overrightarrow{BF}$=μ（-$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AE}$）=-μ$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2μ}{3}$$\overrightarrow{AC}$，根據(jù)平面向量的基本定理計算即得結論．

解答 解：（1）由題意，D為BC的中點，
而△ABC為正三角形，∴AD⊥BC，
設$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，又$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{EC}$，
則$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）
=$\frac{1}{3}$${\overrightarrow}^{2}$-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$
=-$\frac{1}{4}$；
（2）根據(jù)題意：$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AF}$
=-$\overrightarrow{AB}$+$\frac{λ}{1+λ}$$\overrightarrow{AD}$
=-$\overrightarrow{AB}$+$\frac{λ}{2（1+λ）}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）
=-$\frac{λ+2}{2（1+λ）}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{λ}{2（1+λ）}$$\overrightarrow{AC}$，
記$\overrightarrow{BF}$=μ$\overrightarrow{BE}$，則$\overrightarrow{BF}$=μ（-$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AE}$）=-μ$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2μ}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
根據(jù)平面向量的基本定理可得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{λ+2}{2（1+λ）}=-μ}\\{\frac{λ}{2（1+λ）}=\frac{2μ}{3}}\end{array}\right.$，
解得：λ=4．

點評 本題考查平面向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．