Question

1．函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x+1）=f（x-1）成立．已知當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）=log_ax．
（ I ）求x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（ II ）若f（0）=1，在區(qū)間[-1，1]上，解關(guān)于x的不等式$f（x）＞\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知中f（x+1）=f（x-1），故可能函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，又由函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，結(jié)合當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）=log_ax，我們易得，x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)f（x）的表達(dá)式．
（Ⅱ）由f（0）=1知a=2，得到f（x）的表達(dá)式，分類討論，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求出．

解答 解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+1）=f（x-1）成立，
可得f（x+2）=f（x），∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（x+2），-1≤x≤0}\\{lo{g}_{a}（-x+2），0＜x≤1}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）由f（0）=1知a=2，
∴當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，f（x）=log₂（x+2），
∴l(xiāng)og₂（x+2）＞$\frac{1}{2}$=log₂$\sqrt{2}$，
∴x+2＞$\sqrt{2}$，
即$\sqrt{2}$-2＜x≤0，
∴當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=log₂（-x+2），
∴l(xiāng)og₂（-x+2）＞$\frac{1}{2}$=log₂$\sqrt{2}$，
∴-x+2＞$\sqrt{2}$，
即0＜x＜2-$\sqrt{2}$，
綜上所述，$\sqrt{2}$-2＜x＜2-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，函數(shù)的周期性，屬于中檔題．