Question

6．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₂的直線交雙曲線的右支于A，B兩點，若△ABF₁是以A為直角頂點的等腰三角形，e為雙曲線的離心率，則e²=5-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 可設(shè)|F₁F₂|=2c，|AF₁|=m，若△ABF₁構(gòu)成以A為直角頂點的等腰直角三角形，則|AB|=|AF₁|=m，|BF₁|=$\sqrt{2}$m，再由雙曲線的定義，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，運用離心率公式計算即可得到．

解答 解：設(shè)|AF₂|=m，由|AF₁|-|AF₂|=2a，
∴|AF₁|=2a+|AF₂|=2a+m，
又|AF₁|=|AB|=|AF₂|+|BF₂|=m+|BF₂|，
∴|BF₂|=2a，又|BF₁|-|BF₂|=2a，
∴|BF₁|=4a，
依題意$|{B{F_1}}|=\sqrt{2}|{A{F_1}}|$，即$4a=\sqrt{2}（{2a+m}）$，$m=2（{\sqrt{2}-1}）a$，
在Rt△F₁AF₂中${|{A{F_1}}|^2}+{|{A{F_2}}|^2}=4{c^2}$，即$8{a^2}+{（{2\sqrt{2}a-2a}）^2}=4{c^2}$，
即${c^2}=5{a^2}-2\sqrt{2}{a^2}$，∴e²=$5-2\sqrt{2}$．
故答案為：5-2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，同時考查勾股定理的運用，靈活運用雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵．