Question

3．如圖，四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB與△PAD都是邊長為2的等邊三角形．
（ I）證明：CD⊥平面PBD
（Ⅱ）求點(diǎn)A到平面PCD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，過P作PO⊥平面ABCD，垂足為O．連結(jié)OA，OB，OD，OE．證明PB⊥OE．推出OE∥CD，然后證明PB⊥CD，利用直線與平面垂直的判定定理證明即可．
（Ⅱ）取PD的中點(diǎn)F，連結(jié)OF，則OF∥PB．說明△POD為等腰三角形，得到AE∥平面PCD．O到平面PCD的距離OF就是A到平面PCD的距離，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，
ABED為正方形．
過P作PO⊥平面ABCD，垂足為O．連結(jié)OA，OB，OD，OE．PO⊥OE，
由△PAB和△PAD都是等邊三角形知PA=PB=PD，
所以O(shè)A=OB=OD，即點(diǎn)O為正方形ABED對角線的交點(diǎn)，故OE⊥BD，從而PB⊥OE．
因?yàn)镺是BD的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥CD．因此，PB⊥CD．CD⊥BD，PB∩BD=B，
∴CD⊥平面PBD．
（Ⅱ）解：取PD的中點(diǎn)F，連結(jié)OF，則OF∥PB．由（Ⅰ）知，PB⊥CD，故OF⊥CD．
又$OD=\frac{1}{2}BD=\sqrt{2}$，$OP=\sqrt{P{D^2}-O{D^2}}=\sqrt{2}$，故△POD為等腰三角形，
因此，OF⊥PD．又PD∩CD=D，所以O(shè)F⊥平面PCD．
因?yàn)锳E∥CD，CD?平面PCD，AE?平面PCD，所以AE∥平面PCD．
因此，O到平面PCD的距離OF就是A到平面PCD的距離，而$OF=\frac{1}{2}PB=1$，
所以A至平面PCD的距離為1．

點(diǎn)評 本題考查空間點(diǎn)線面距離的求法，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．