Question

7．如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁B₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，P是AD的延長線與A₁C₁的延長線的交點，且PB₁∥平面BDA₁．
（1）求證：CD=C₁D．
（2）求二面角A-A₁D-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）連接B₁A交BA₁于O，由已知條件推導出△ACD≌△PC₁D，由此能夠證明CD=C₁D；
（II）以A₁為坐標原點，以A₁B₁，A₁C₁，A₁A所在直線建立空間直角坐標系，利用平面法向量與二面角的大小之間的關系求出二面角的大�。�

解答 （Ⅰ）證明：連接B₁A交BA₁于O，
∵PB₁∥平面BDA₁，B₁P?面AB₁P，面AB₁P∩面BA₁D=OD，…（2分）
∴B₁P∥OD，又O為B₁A的中點，
∴D為AP中點，∴C₁為A₁P中點，…（3分）
∴△ACD≌△PC₁D，∴CD=C₁D．…（4分）
（Ⅱ）解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=$\sqrt{2}$，AB=AC=1，
∴AB⊥AC，…（5分）
以A₁為坐標原點，以A₁B₁，A₁C₁，A₁A所在直線建立空間直角坐標系如圖所示．
由（Ⅰ）知C₁為A₁P中點，
∴A₁（0，0，0），B（1，0，1），D（0，1，$\frac{1}{2}$），P（0，2，0），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（1，0，1），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，1，$\frac{1}{2}$），
設平面BA₁D的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），則$\left\{\begin{array}{l}{a+c=0}\\{b+\frac{c}{2}=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{1}{2}$，-1）
又$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）為平面AA₁D的一個法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{m}$＞=$\frac{2}{3}$．
故二面角A-A₁D-B的平面角的余弦值為$\frac{2}{3}$．…（12分）

點評 此題重點考查了利用空間向量的方法求點到平面的距離和二面角的大小，還考查了利用方程的思想求解坐標中所設的變量的大�。�