Question

19．已知二次函數(shù)f（x）的最小值為-1，且f（-4）=f（0）=3
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區(qū)間[2a，a+1]上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值g（t），并求g（t）的最值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)f（x）的最小值為-1，且f（0）=f（-4）=3，可得對(duì)稱(chēng)軸為x=-2，可設(shè)f（x）=a（x+1）²-1，由f（0）=3，求出a的值即可；
（2）根據(jù) f（x）在區(qū)間[2a，a+1]上是單調(diào)函數(shù)則對(duì)稱(chēng)軸應(yīng)該在區(qū)間的左側(cè)或在區(qū)間的右側(cè)，從而可求出a的取值范圍；
（3）f（x）=x²+4x+3=（x+2）²-1，頂點(diǎn)是（-2，-1），由于拋物線開(kāi)口向上，分類(lèi)討論，確定對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由f（-4）=f（0）=3得：對(duì)稱(chēng)軸x=-2，
設(shè)f（x）=a（x+2）²-1，由f（0）=3，得a=1，
故f（x）=x²+4x+3．
（2）二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=-2，
當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間的左側(cè)時(shí)，
函數(shù)f（x）在區(qū)間[2a，a+1]上單調(diào)遞增，
即2a≥-2解得a≥-1，
當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間的右側(cè)時(shí)，
函數(shù)f（x）在區(qū)間[2a，a+1]上單調(diào)遞減，
即a+1≤-2解得a≤-3，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-3]∪[-1，+∞）；
（3）f（x）=x²+4x+3=（x+2）²-1，頂點(diǎn)是（-2，-1），由于拋物線開(kāi)口向上
①當(dāng)t+1＜-2，即t-3時(shí)，最大值是g（t）=f（t）=t²+4t+3，
②當(dāng)t＞-2時(shí)，最大值是g（t）=f（t+1）=（t+1）²+4（t+1）+3=t²+6t+8；
③當(dāng)-2.5＜t＜-2時(shí)，最大值是g（t）=f（t+1）=（t+1）²+4（t+1）+3=t²+6t+8；
④-3＜t≤-2.5時(shí)，最大值是g（t）=f（t）=t²+4t+3，
∴g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+4t+3，t≤-2.5}\\{{t}^{2}+6t+8，t＞-2.5}\end{array}\right.$，
當(dāng)t≤-2.5時(shí)：g（t）=（t+2）²-1，最小值是g（-2.5）=-$\frac{3}{4}$，無(wú)最大值，
當(dāng)t＞-2.5時(shí)：g（t）=（t+3）²-1，最小值是g（-2.5）=-$\frac{3}{4}$，無(wú)最大值，
故g（t）的最小值是-$\frac{3}{4}$，無(wú)最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，同考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．