Question

已知f（x）=ksinx+kcosx+sinxcosx+1
（1）若f（x）≥0在[0，

3π

4

]上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍
（2）當(dāng)k＞

2

時(shí)，求方程f（x）=0在[-2π，2π]上實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象,三角函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：（1）首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，進(jìn)一步利用換元法，利用轉(zhuǎn)化法結(jié)合恒成立問題求出參數(shù)的取值范圍．
（2）利用（1）的結(jié)論進(jìn)一步利用根和系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的根進(jìn)一步利用關(guān)系式求出根的個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）f（x）=ksinx+kcosx+sinxcosx+1
=k（sinx+cosx）+sinxcosx+1
因?yàn)椋海╯inx+cosx）²=1+2sinxcosx
所以：sinxcosx=

(sinx+cosx)2-1

2

設(shè)sinx+cosx=t
則：sinxcosx=

t2-1

2

又sinx+cosx=t=

2

sin(x+

π

4

)
因?yàn)椋簒∈[0，

3π

4

]
所以：x+

π

4

∈[

π

4

，π]
t∈（0，

2

]
所以f（x）=ksinx+kcosx+sinxcosx+1可轉(zhuǎn)化為：
g（t）=kt+

t2-1

2

+1=

t2+1

2

+kt
要使f（x）≥0，等價(jià)于g（t）=

t2+1

2

+kt≥0在（0，

2

]上恒成立．
由

t2+1

2

+kt≥0得到：k≥-

t2+1

2t

=-

1

2

(t+

1

t

)
又-

1

2

(t+

1

t

)≤-1
當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)，等號成立．
故k≥-1
（2）由（1）知f（x）=0等價(jià)于

t2+1

2

+kt=0
即：t²+2kt+1=0①
其中sinx+cosx=t=

2

sin(x+

π

4

)∈[-

2

，

2

]，
當(dāng)k＞

2

時(shí)，△=4k²-4＞0在①式上的兩個(gè)實(shí)數(shù)根t₁，t₂
由根和系數(shù)的關(guān)系得：t₁t₂=1
不妨設(shè)：t1=

-2k+ 4k2-4

2

=-k+

k2-1

t2=

-2k- 4k2-4

2

=-k-

k2-1

由于k＞

2

所以：-k-

k2-1

＜-k＜-

2

解得：t1∈(-

2

2

，0)
①式在[-

2

，

2

]上僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根t1∈(-

2

2

，0)
即sin(x+

π

4

)=

2

2

t1∈(-

1

2

，0)
此時(shí)方程f（x）=0在[-2π，2π]上有4個(gè)實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，換元法的應(yīng)用，根和系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，求根公式法的應(yīng)用．及相關(guān)的運(yùn)算問題，屬于難題．