Question

11．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|，g（x）=|ax|
（1）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f（x）≥g（x）+1；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，若對(duì)一切x∈R，恒有f（x）+g（x）≥b成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用絕對(duì)值三角不等式求得f（x）+g（x）的最小值為1，從而求得 b≤1．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，不等式f（x）≥g（x）+1，即|2x+1|≥|x|+1，
可得 $\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-2x-1≥-x+1}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x≤0}\\{2x+1≥-x+1}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{2x+1≥x+1}\end{array}\right.$③．
解①求得x≤-2，解②求得x=0，解③求得x＞0，
綜上可得，不等式的解集為{x|x≤-2，或x≥0}．
（2）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）+g（x）=|2x+1||2x|≥|2x+1-2x|=1，
若對(duì)一切x∈R，恒有f（x）+g（x）≥b成立，則1≥b，即 b≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值三角不等式，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．