Question

已知數(shù)列{a_n}中，點(diǎn)（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上，且a₂=2．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求a_n；
（Ⅱ）設(shè)bn=2 an，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若對?n∈N^*，S_n≥λ•2ⁿ成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由點(diǎn)（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上，可得a_n-a_n+1+1=0，即a_n+1-a_n=1，再利用等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式即可的得出；
（II）由（I）可得：bn=2ⁿ，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得S_n=2ⁿ⁺¹-2．因此對?n∈N^*，S_n≥λ•2ⁿ成立?λ≤(2-

1

2n-1

)min，利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答： （I）證明：∵點(diǎn)（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上，∴a_n-a_n+1+1=0，
∴a_n+1-a_n=1，
∵a₂=2，∴a₁=1．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
∴a_n=n．
（II）由（I）可得：bn=2 an=2ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n=

2(2n-1)

2-1

=2ⁿ⁺¹-2．
∵對?n∈N^*，S_n≥λ•2ⁿ成立，
∴2ⁿ⁺¹-2≥λ•2ⁿ，
∴λ≤2-

1

2n-1

，
∵數(shù)列{2-

1

2n-1

}是單調(diào)遞增數(shù)列，
∴(2-

1

2n-1

)min=2-1=1，
∴λ≤1．
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是λ≤1．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．