Question

9．已知雙曲線C的漸近線方程為y=±x，一條準(zhǔn)線方程為$x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)M（-2，0）的直線l交雙曲線C于A、B兩點(diǎn)，并且三角形OAB的面積為2$\sqrt{3}$，求直線l的方程；
（3）在（2）中是否存在這樣的直線l，使OA⊥OB？若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件列出方程求出，a、b、c，即可得到雙曲線方程．
（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線聯(lián)立，利用三角形的面積求解直線方程即可．
（3）利用（2）通過直線垂直，斜率乘積為：-1．列出方程求解即可．

解答 解：（1）雙曲線C的漸近線方程為y=±x，一條準(zhǔn)線方程為$x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
可得a=b，$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{c}{a}=\sqrt{2}$，解得，a=b=1，c=$\sqrt{2}$．
雙曲線的方程為：x²-y²=1．
（2）設(shè)直線方程為：x=my-2，
由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{x=my-2}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
可得（m²-1）y²-4my+3=0，可得：y₁+y₂=$\frac{4m}{{m}^{2}-1}$，y₁y₂=$\frac{3}{{m}^{2}-1}$，
|y₁-y₂|=$\sqrt{\frac{16{m}^{2}-12{m}^{2}+12}{（{m}^{2}-1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{12+4{m}^{2}}}{|{m}^{2}-1|}$，
三角形OAB的面積為2$\sqrt{3}$，可得：$\frac{1}{2}×2×$$\frac{\sqrt{12+4{m}^{2}}}{|{m}^{2}-1|}$=$2\sqrt{3}$，解得m=±$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
直線l的方程：x=±$\frac{\sqrt{21}}{3}$y-2．
（3）由（2）可知y₁y₂=$\frac{3}{{m}^{2}-1}$，
x₁x₂=（my₁-2）（my₂-2）=m²y₁y₂-2m（y₁+y₂）+4=$\frac{3{m}^{2}}{{m}^{2}-1}-\frac{8{m}^{2}}{{m}^{2}-1}+4$=$\frac{-{m}^{2}-4}{{m}^{2}-1}$，
如果OA⊥OB，可得：$\frac{\frac{3}{{m}^{2}-1}}{\frac{-{m}^{2}-4}{{m}^{2}-1}}=-1$，
解得：m²=-1，
直線不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線橢圓雙曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．