Question

6．設(shè)函效f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$，[x]表示不超過x的最大整數(shù)（如[2]=2，[$\frac{5}{4}$]=1），則[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（x）+$\frac{1}{2}$]的值域為{1，-1}．

Answer 1

分析 分別求出f（x）-$\frac{1}{2}$和f（x）+$\frac{1}{2}$的值域，結(jié)合定義進行求解即可．

解答 解：f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{2}^{x}+1-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$∈（0，1），
則f（x）-$\frac{1}{2}$∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）
[f（x）-$\frac{1}{2}$]=0或-1，
若f（x）=1-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜$\frac{1}{2}$時，即$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＞$\frac{1}{2}$，即2^x+1＜2，即2^x＜1，
則x＜0，
即當(dāng)x＜0時，f（x）＜$\frac{1}{2}$，f（x）-$\frac{1}{2}$＜0，此時f（x）+$\frac{1}{2}$＜1，
此時[f（x）-$\frac{1}{2}$]=-1，此時[f（x）+$\frac{1}{2}$]=0，則[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（x）+$\frac{1}{2}$]=-1，
即當(dāng)x≥0時，$\frac{1}{2}$≤f（x）＜1，0≤f（x）-$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$，此時1≤f（x）+$\frac{1}{2}$＜$\frac{3}{2}$，
此時[f（x）-$\frac{1}{2}$]=0，此時[f（x）+$\frac{1}{2}$]=1，則[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（x）+$\frac{1}{2}$]=1，
∴[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（x）-$\frac{1}{2}$]的值域為{1，-1}
故答案為：{1，-1}

點評 本題考查函數(shù)的新定義應(yīng)用問題，解題時應(yīng)深刻理解函數(shù)的新定義，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，是解答問題的關(guān)鍵，是中檔題．